В 1932году Хользуновых переехали в город Саратов, где Алексей продолжил обучение в 37 школе города Саратова (ныне школа №2), а затем и в 24 железнодорожной школе. После окончания 24-й железнодорожной школы Алексей Хользунов работал слесарем на заводе "Серп и молот" и одновременно учился в аэроклубе. В 1938 году был зачислен в Энгельсскую военную школу лётчиков, после окончания которой летом 1939 года участвовал в боях с японскими милитаристами в районе реки Халхин - Гол, где получил боевое крещение.
7 ноября в составе звена Алексей Хользунов вылетел на сопровождение бомбардировщиков. Под огнём противника летчики пересекли линию фронта и у переправы через реку Волхов обнаружили колонны испанской "Голубой дивизии". Наши бомбардировщики нанесли удар. Выполнив задание, самолёты легли на обратный курс. В это время в воздухе появилось 5 Ме-109. Тройка советских истребителей вступила в бой. Один из "Мессеров" зашёл в хвост самолёта командира звена лейтенанта Козлова. Но в этот момент на помощь командиру пришёл Алексей Хользунов, который сбил "Мессер". Когда в районе Малой Вишеры истребители догнали своих подопечных, Хользунов заметил в стороне разведчик противника. Он атаковал "Хеншель", очередь "Чайки" попала в бензобак - Hs-126 взорвался в воздухе.
С апреля 1942 года лейтенант А. И. Хользунов служил в составе 434-го ИАП. Летом и осенью 1942 года в боях на Юго - Западном фронте и под Сталинградом он лично сбил 8 самолётов противника.
День 27 июня оказался самым результативным по числу побед, одержанных лётчиками полка за период боевых действий на Юго - Западном фронте. В этот день группа из 8 самолётов встретила в воздухе в районе юго - восточнее Уразово - Купянск группу из 12 - 16 бомбардировщиков Ju-88 под прикрытием Ме-109. Наши лётчики атаковали противника и по итогам боя доложили об уничтожении 6 бомбардировщиков: по одной победе записали на свой счёт подполковник Пруцков, майор Клещёв, капитан Бабков, старший лейтенант Избинский, лейтенанты Хользунов и Савельев.
3 июля во время боя 10 Як-1 с бомбардировщиками противника под прикрытием Ме-109 старший лейтенант Захватаев, лейтенанты Котов и Хользунов в районе Осколище уничтожили по одному Не-111.
4 июля Алексею пришлось испить горечь поражения: в воздушном бою с 5 Ме-109 его Як-1 был сбит. Лётчик выбросился с парашютом и к концу дня невредимым вернулся в полк.
За 3 недели боёв на Юго - Западном фронте с 13 июня по 4 июля 1942 года лётчики 434-го ИАП совершили 880 боевых вылетов, провели 29 воздушных боёв и уничтожили 35 самолётов противника, в том числе 10 бомбардировщиков (7 Не-111 и 3 Ju-88). Свои потери составили 4 самолёта. В этот период отличились лётчики Захватаев, Избинский, Котов и Хользунов, которые записали на свои счета по 3 лично сбитых самолётов противника и по 1 - в группе.
Лётный день 26 июля стал самым напряжённым для пилотов 434-го ИАП: они совершили 79 боевых вылетов. В этот день Алексей Хользунов одержал 2 победы.
В 11:05 старший лейтенант Избинский поднял в воздух шестёрку Як-7Б. В районе Калача группа вела бой с Ме-109, в результате которого летчики Избинский, Хользунов и Ходаков записали на свой счёт по истребителю противника. Наша группа потерь не имела.
В 14:25 в район Калача повел восьмерку лейтенант Котов. Во время боя с Ме-109 лётчики Хользунов, Рубцов и Паушев сбили по одному истребителю противника. Все самолёты нашей группы возвратились на аэродром.
29 июля лётчики полка совершили 62 боевых вылета. В 10:15 восьмёрку истребителей поднял в воздух майор Клещёв. В районе Камышин группа вела бой с Ju-87 под прикрытием Ме-109, в результате которого было сбито 4 Ju-87 и один Ме-109: майор Клещёв сбил 2 Ju-87, старший лейтенант Каюк и лейтенант Хользунов по одному Ju-87, лейтенант Карначонок - один Ме-109. В этом воздушном бою был сбит орденоносец лейтенант Рубцов Сергей Алексеевич, самолёт сгорел, лётчик погиб.
16 сентября полк совершил 57 боевых вылетов. Лейтенант Хользунов сбил Ме-109.
К концу декабря 1942 года лучшие лётчики 32-го Гвардейского ИАП имели на своих боевых счетах: капитан И. И. Избинский - 15 сбитых самолётов противника, старший лейтенант А. Г. Котов - 14, старший лейтенант М. А. Гарам - 12, старшие лейтенанты А. И. Хользунов и В. А. Савельев - по 9, лейтенант А. П. Шишкин - 6.
6 января 1943 года лётчики 32-го Гвардейского ИАП добились большого успеха, когда в течение дня заявили об уничтожении 18 самолётов противника, в том числе 6 бомбардировщиков He-111 и одного Ju-88 в районе озеро Искусственное - станция Чернозем. В этот день, в числе прочих других лётчиков, отличился и А. И. Хользунов.
По результатам боевых действий на Калининском фронте были подготовлены и направлены по команде представления на присвоение звания Героя Советского Союза Гвардии капитану И. И. Избинскому, Гвардии старшему лейтенанты А. И. Кошелеву и Гвардии старшему лейтенанту А. А. Хользунову.
21 февраля погода значительно улучшилась, поэтому с утра над полем боя происходили жаркие схватки. Лётчики полка за день совершили 47 самолёто - вылетов на прикрытие наземных войск, сопровождение штурмовиков и в воздушных боях уничтожили 4 самолёта противника, которые сбили командир звена старший лейтенант Орехов, лейтенанты Шишкин и Хользунов, младший лейтенант Гнатенко.
7 марта 1943 года Гвардии лейтенант А. И. Хользунов не вернулся с боевого задания по разведке противника в районе Ярцево Смоленской области. Он попытался атаковать 2 FW-190, не услышав предупреждения комэска Долгушина о другой атакующей группе немцев. Местные жители похоронили лётчика в деревне Петрово Смоленской области. Ведомый Хользунова, младший лейтенант Батов, также был сбит в этом бою, но смог выброситься с парашютом и через несколько дней вернулся в свой полк.
Кроме этого награжден Медалью Золотая Звезда; двумя орденами Красного Знамени и медалью «За оборону Сталинграда».
В 1975 году в Саратове бывшая Красная (Жандармская) улица была переименована в честь А. И. Хользунова. На углу улиц Мичурина и Хользунова стоит Школа №2, на стене — мемориальные плиты Героев Советского Союза, учившихся в этой школе.
Памятник Хользунову установлен на заводе «Серп и Молот».
Хользунову посвящён фрагмент мемориала Вечная слава павшим за Родину 1941 - 1945 на улице Чернышевского (за домом 94 ближе к Волге).